silk

 Parshas Hashavua תרומה

וצפית אתו זהב טהור---- ועשית עליו זר זהב סביב            

 לע"נ  אמי מורתי מרת*געלא בת ר' אברהם אשי ע"ה
 'יום השנה שבת קדש ד' אדר א

The ר' בחיי, ( Parshas Terumah) writes We don’t find
in the נדבת המשכן any silk because for building
the משכן we may not use materials that come
from non-kosher animals. (silkworms are non-kosher)

תולעת שני (red wool) The dye does not come from
a worm.
It comes from a red seed that has a worm in it.
(Rambam Parah Adumah 3:2 – Rashi  Yeshayahu1:18)

The ספר חסידים ס' ער"ה writes,that for חפצי ה (holy
objects) one is obligated to store them in elegant
containers etc.

For this reason, they made the mantles of ספרי תורה
with silk. (Velvet wasn't common then)
The שו"ת חתם סופר או"ח ל"ט  is struggling to find a היתר
for using silk mantles on the פרוכת- ספרי תורה etc.

Perhaps, the reason why many Rebbes use
for their Tallis/Tefillin bag, cow/deer leather with
the hair still attached, is to show that it's made from
a kosher animal (not pig- alligator skin etc.) .אמבצי